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量子世纪的创世余晖——读冯·诺依曼《量子力学的数学根底》

惟愿悉心读者深化冯·诺依曼的“直接言说”,去逼真才智那个“激动人心的时代”。

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Durch den ganzen logischen Apparat hindurch sprechen die physikalischen Gesetze doch von den Gegenst?nden der Welt.

物理规则凭借其悉数的逻辑机制直接地言说世界中的目标。

——维特根斯坦,《逻辑哲学论》

撰文 | 李轻舟

注重并讨论物理学在表述中呈现出的办法结构及其含义是牛顿创建经典力学系统以来的传统。一般地,表述物理学所依托的载体首要分为两种:榜首种是天然词汇组成的陈说性句子;第二种是数学符号组成的办法表达式。以前者为首要表述办法的物理学文献会集出现在亚里士多德到牛顿时代。大约从拉格朗日、拉普拉斯开端,符号表达式逐步替代了天然句子成为了物理学的首要表述办法。

无论是天然词汇的陈说句子,仍是数学符号表达式,本质上都可归类于办法逻辑的出题。这些出题依托相互之间的逻辑联系组成系统,即物理学在表述中呈现出的办法结构。咱们经过这套办法结构逻辑地或数学地描写物理学的概念,而概念指向了物理世界中的客观真实,然后“直接地言说”物理世界,好像爱因斯坦、波多尔斯基、罗森在“EPR”中指出的那样:“这些概念对应于客观真实,而咱们经过它们向自己描绘了真实。”

前史上,物理学家对办法及其含义的爱好能够从麦克斯韦的一段经典论说中得到验证。在闻名的电磁理论文献《论法拉第的力线》中,麦克斯韦明确指出了办法的重要性,他说:“为了取得不依托固有理论的物理学新概念,咱们有必要善用物理类比。所谓物理类比,是指运用科学规则之间的部分相似性,用它们中的一个去阐明另一个。因而,一切的数理科学要建立在物理学规则与数学规则之间联系的根底之上,所以精细科学的意图在于将天然界的难题以数的手法还原为量的判别。经过最遍及的类比到极小的部分,咱们发现正是两种不同现象相同的数学表达办法催生了光的物理学理论。”

图1 逻辑原子论的代表人物:罗素与维特根斯坦

跟着剖析哲学中“逻辑原子论”的一度昌盛以及数学或物理学中“物理学正义化”运动的推动,对物理学办法结构的讨论现已取得了长足的开展。20世纪初才正式进入人们视界的物理学正义化,其实一直是经典物理学的一个潜在的前史传统,它能够追溯到牛顿在《天然哲学之数学原理》中对欧氏几何学的“仿照”,哥德尔从前评论道:“物理学家对正义化办法缺少爱好,就像一层假装:这个办法不是其他,便是明晰的思维。牛顿把物理学正义化,因而把它变成了一门科学。”

图2 在普林斯顿散步的爱因斯坦与哥德尔。哥德尔与闻名的“维也纳学派”过从甚密,该学派深受马赫、罗素和维特根斯坦思维的影响。

但是,物理学正义化在世纪之交被正式提出来并遭到必定程度的注重,彻底得益于一场由数学家或者说数学物理学家建议的物理学正义化运动。1900年,希尔伯特在第二届世界数学家大会上宣读了题为《数学识题》的闻名讲演。在这篇讲演中,希尔伯特向其时的数学界提出了23个有待深化研究的根底数学方向或难题,合称“希尔伯特问题”。其间第6个问题,即“物理学的正义化”,希尔伯特对此的论述是:“对几何学根底的讨论暗示了这样一个问题:能够凭借正义且运用相同的办法处理数学在其间扮演着重要人物的物理科学;首要处理的便是概率论和力学。”在给出一些道路上的提示后,希尔伯特进一步着重:“此外,数学家的职责是在每个实例中严厉查验这些新正义是否与旧的相容。物理学家,当理论取得开展时,常常发现自己为试验成果所迫而去结构新的假定,为了使这些新假定与旧的正义相容,他不得不依托这些试验或某些物理直觉,而这种经历在理论的严厉逻辑构建中是不被答应的。对我来说,令人满意地证明一切假定的相容性相同很重要,因为取得每一个证明的尽力总会最有效地迫使咱们到达一个严厉的正义表述。”尽管,希尔伯特对办法系统正义相容性证明的预期终究被哥德尔证明为不可能,但物理学正义化的召唤仍是得到了相当可观的积极响应。在随后30多年时间里,这场运动取得了四项开展:1909年,哈梅尔在剖析力学的根底上完结了力学的正义化。同年,卡拉西奥多里确立了正义化热力学的根底。1932年,冯·诺依曼出书了《量子力学的数学根底》,该文献被视为遵从希尔伯特道路的一个量子力学正义化范本。1933年,柯尔莫哥洛夫出书了《概率运算的根底》,建立了严厉的正义化概型,概率论完结了正义化甚至“数学化”。

图3 希尔伯特、卡拉西奥多里与柯尔莫哥洛夫

20世纪20时代以降,量子力学由草创阶段转向纵深开展,冯·诺依曼的量子力学正义化为量子力学的哥本哈根诠释供给了一个契合希尔伯特等待的数学根底。1930年,狄拉克在《量子力学原理》中给出了量子力学的一致数学表述办法。在《量子力学的数学根底》中,冯·诺依曼首要必定了狄拉克的测验,但一起指出了其在数学严密性上的缺乏。依据外尔向量空间的正义系统,冯·诺依曼为量子力学的传统表述赋予了一个新的数学结构——希尔伯特空间,并在该空间中打开厄密算符理论作为量子力学的数学根底。

图4 外尔、狄拉克与冯·诺依曼

此刻 B 为 L 的肖德尔基。在内积空间中,能够为 B 中元素加上互为正交归一的条件。

综上,冯·诺依曼运用的希尔伯特空间便是一个存在正交归一化肖德尔基的齐备内积空间。因为肖德尔基的存在,这个空间是无量维的,即无量维希尔伯特空间。

冯·诺依曼把无量维的希尔伯特空间作为量子力学的相空间或态空间。这就引出了冯·诺依曼正义系的榜首正义,它可被表述为:

正义I. 量子力学的态函数 Ψ 为希尔伯特空间的元素。

这条正义在物理上陈说了薛定谔的波函数,其一切物理性质都能够由希尔伯特空间的数学结构精确地描写。对所选定的特定表象,Ψ 打开的本征态函数即希尔伯特空间中的肖德尔基。

依据这两个正义,咱们能够很方便地导出定态薛定谔方程等一系列重要定论。正义III的数学表述办法是在薛定谔工作上打开的,它表征了波函数接连的演化过程,但并没有描写波函数在丈量条件下的坍缩机制。对这个机制的表述能够概括为冯·诺依曼正义系第四正义:

正义IV. 对经典力学量 F 丈量,所得平均值

正义IV实际上陈说了波函数在试验中的物理含义,触及玻恩的波函数计算解说以及颇具争议性的丈量问题。

除了粒子全同性原理和自旋假定外,冯·诺依曼正义系涵盖了非相对论性量子力学的悉数基本规则。从该正义系动身,冯·诺依曼在更严厉的含义上证明了矩阵力学和波动力学两种表述办法的数学等价性,而且经过证明现行量子力学理论系统不存在定域隐变量,在必定程度上支撑了玻尔一派希望的量子力学“齐备性”。冯·诺依曼正义系及其定域隐变量不存在的证明影响了后来玻姆、贝尔等人对量子力学根底的调查,而他为之建立起来的数学系统和办法也促进了现代泛函剖析的开展。

图5《量子力学的数学根底》扉页

笔者曾对这种“直接言说”的“言语”自身——物理学的理论表述办法——抱有浓厚爱好。大约十年前,在编撰学士学位论文期间,藉由整理物理学正义化前史,笔者榜首次获悉量子世纪的“创世余晖”——《量子力学的数学根底》。为了更方便地阅览,笔者专门托在北大数学系就读的友人去北大图书馆搜索,幸而找到了1955年的英译本。友人将原书复印装订成册,千里迢迢寄送到我手中,使我有时机直面20世纪尖端的天才大脑......厚道讲,那不是什么轻松的阅览体会,文章完结,也就相忘于江湖了。所谓“浮云一别后,流水十年间”,未曾想科学出书社近来推出了这部名著的中译本,修改朋友为催促我学习,榜首时间寄来了新书。旧书重读如老友重逢,怎么办岁月蹉跎,学识无所出息,率尔操觚,惟愿悉心读者深化冯·诺依曼的“直接言说”,去逼真才智那个“激动人心的时代”。

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